| Giải tích toán học tập → Giải tích phức |
| Giải tích phức |
|---|
 |
| Số phức |
|
| Hàm số phức |
|
| Lý thuyết cơ bản |
|
| Nhân vật |
|
|
|
Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số rất có thể viết lách bên dưới dạng , nhập cơ a và b là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức rất có thể được màn trình diễn bên trên mặt mày phẳng lặng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, vì thế một trong những phức được xác lập vày một điểm với tọa phỏng (a,b). Một số phức nếu như với phần thực vày ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như với phần ảo vày ko thì trở nên số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những việc nhưng mà ko thể giải nhập ngôi trường số thực.
Số phức được dùng trong vô số nghành nghề khoa học tập, như khoa học tập chuyên môn, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như nhập lý thuyết lếu láo loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc phụ thân nhập thế kỉ 16.[2]
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã lấy khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" nhập dự án công trình Đại số (Bologne, 1572) công tía không nhiều lâu trước lúc ông tổn thất. Ông đang được khái niệm những số cơ (số phức) Lúc phân tích những phương trình bậc phụ thân và đã lấy đi ra căn bậc nhị của .
Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert nhập năm 1746 đang được xác lập được dạng tổng quát tháo "" của bọn chúng, bên cạnh đó gật đầu đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã lấy đi ra ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhị của , năm 1801 Gauss đang được người sử dụng lại ký hiệu này.
Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được cho phép giải một phương trình chắc chắn nhưng mà ko giải được nhập ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình
không với nghiệm thực, vì như thế bình phương của một trong những thực ko thể âm. Các số phức được cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực sang trọng đơn vị chức năng ảo với , chính vì vậy phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, rất có thể soát lại nghiệm Lúc thế nhập phương trình và với :
![{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07da03dc7cbb4d94418abdd4e3884770d3c034aa)
![{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5334849aa929fb370d05e4c73e2940764c0042)
Thực tế không những những phương trình bậc nhị nhưng mà toàn bộ những phương trình đại số với thông số thực hoặc số ảo với cùng một vươn lên là số rất có thể giải ngay số phức.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được màn trình diễn bên dưới dạng , với a và b là những số thực và là đơn vị ảo, thỏa mãn nhu cầu ĐK . Ví dụ là một trong những phức.
Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo cơ, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: vì thế b, ko nên bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:
Do cơ, nếu như xét theo dõi phần thực và phần ảo, một trong những phức z sẽ tiến hành viết lách là . Biểu thức này đôi lúc được gọi là dạng Cartesi của z.
Một số thực a rất có thể được màn trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là một trong những phức được viết lách là với phần thực vày 0. Hình như, Lúc phần ảo âm, nó được viết lách là với chứ không , ví dụ chứ không .
Tập hợp ý toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là ℂ, hoặc . Có nhiều cách thức xây cất ngôi trường số phức một cơ hội nghiêm ngặt vày cách thức định đề.
Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là tụ hội những cặp (a,b) với .
Trong , khái niệm nhị luật lệ nằm trong và luật lệ nhân như sau:
thì là 1 ngôi trường (xem cấu tạo đại số).
Ta rất có thể lập một đơn ánh kể từ luyện số thực nhập bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi cơ ... Nhờ luật lệ nhúng, tao hệt nhau luyện những số thực với luyện con cái những số phức dạng , Lúc cơ luyện những số thực là luyện con cái của luyện những số phức và sẽ là một không ngừng mở rộng của .
Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có
.
Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.
Xem thêm: at the moment là thì gì
Một số định nghĩa cần thiết nhập ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù vày biểu thức
Mỗi số phức z đều được màn trình diễn có một không hai bên dưới dạng:
trong cơ a, b là những số thực. Dạng màn trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cơ hội màn trình diễn bên dưới dạng đại số, luật lệ nằm trong và nhân những số phức được triển khai như luật lệ nằm trong và nhân những nhị thức hàng đầu với cảnh báo rằng . Như vậy, tao có:
Mặt phẳng lặng phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong hệ toạ phỏng Descartes, rất có thể người sử dụng trục hoành chỉ tọa phỏng phần thực còn trục tung mang lại tọa phỏng phần ảo nhằm màn trình diễn một trong những phức
Khi cơ mặt mày phẳng lặng tọa phỏng được gọi là mặt mày phẳng lặng phức.
Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]
Mỗi số thực sẽ là một trong những phức với .
Ta có:
Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.
Một số đặc điểm của số phức liên hợp:
- là một trong những thực.
- là một trong những thực
- =
- =
Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]
- Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối
Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức rất có thể viết lách bên dưới dạng
Khi đặt
- ,
ta có
Cách màn trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .
Phép toán bên trên những số phức viết lách bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]
- Phép nhân và luật lệ phân tách những số phức bên dưới dạng lượng giác
Cho nhị số phức bên dưới dạng lượng giác
Xem thêm: các chất điện li yếu
Khi đó
- Lũy quá ngẫu nhiên của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
- Khai số phận phức bên dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z không giống 0 đều phải sở hữu đích thị n căn bậc n, là những số dạng
![{\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03dd7d07b639e386d3e187aac1866ee12ba466b)
trong cơ ,
Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Các tụ hội số[sửa | sửa mã nguồn]
- : Tập hợp ý số tự động nhiên
- : Tập hợp ý số nguyên
- : Tập hợp ý số hữu tỉ
- : Tập hợp ý số vô tỉ
- : Tập hợp ý số thực
- : Tập hợp ý số phức
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Hình học tập phức
- Mặt cầu Riemann (mặt phẳng lặng phức há rộng)
- Giải tích phức
- Số siêu phức
- Số vẹn toàn Gauss
- Căn bậc hai
- Công thức Euler
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Charles P.. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
- ^ Burton (1995, tr. 294)
- ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
- ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn phiên bản 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter P.., p. 66
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
 |
Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức. |
- Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
| Các chủ thể chủ yếu nhập toán học |
|---|
| Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rốc | Toán học tập phần mềm | Toán học tập vui chơi giải trí | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê |
Bình luận