số hoàn hảo là gì

Bách khoa toàn thư ngỏ Wikipedia

Số trả hảo (hay thường hay gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một số trong những nguyên vẹn dương tuy nhiên tổng những ước nguyên vẹn dương thực sự của chính nó (các số nguyên vẹn dương bị nó phân tách không còn nước ngoài trừ nó) vày chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo là gì

Định nghĩa số trả hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt đối là những số nguyên vẹn dương n sao cho:

trong ê, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong ê, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số tuyệt đối chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid tiếp tục tìm hiểu rời khỏi 4 số tuyệt đối nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số yếu tắc trong những ví dụ bên trên, Euclid minh chứng rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục mang lại tớ một số trong những tuyệt đối chẵn khi và chỉ khi 2p − một là số yếu tắc (số yếu tắc Mersenne).

Các mái ấm toán học tập cổ truyền gật đầu đồng ý đó là 4 số tuyệt đối nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên hầu như những giả thiết bên trên trên đây đang không được minh chứng là đích. Một nhập số này đó là nếu như 2, 3, 5, 7 là tư số yếu tắc thứ nhất thì chắc chắn sẽ sở hữu được số đầy đủ loại năm khi p = 11, số yếu tắc loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là hợp ý số, và thế là p = 11 ko nhận được số tuyệt đối. 2 sai lầm không mong muốn không giống của mình là:

Số tuyệt đối loại năm nên sở hữu năm chữ số theo đòi hệ cơ số 10 vì thế tư số tuyệt đối thứ nhất sở hữu theo lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số mặt hàng đơn vị chức năng của số tuyệt đối nên là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: cách tính điểm trung bình môn

Số tuyệt đối loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy đánh giá 1 tiếp tục sai, về đánh giá thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số tuyệt đối loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách tiếp bất kể số tuyệt đối chẵn nào thì cũng nên sở hữu chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số yếu tắc thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số yếu tắc. Số yếu tắc sở hữu dạng 2p − 1 được gọi là Số yếu tắc Mersenne sau thời điểm được một mái ấm tu nhập thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số tuyệt đối mò mẫm rời khỏi.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa xem sét rằng từng số tuyệt đối chẵn đều nên sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi 2p − một là số yếu tắc, tuy nhiên ông tớ ko thể minh chứng được thành phẩm này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler tiếp tục minh chứng công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục mò mẫm rời khỏi những số tuyệt đối chẵn. Đó là nguyên nhân dẫn cho tới sự tương tác thân thích số tuyệt đối và số yếu tắc Mersenne. Kết trái ngược này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới nhất chỉ mất 46 số Mersenne được mò mẫm rời khỏi,[2] sở hữu nghĩa đó là số tuyệt đối loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số tuyệt đối chẵn thứ nhất sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 nhập bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là sở hữu nhằm sót số nào là thân thích bọn chúng hoặc không

Cũng không có ai biết chắc hẳn rằng là sở hữu vô hạn số yếu tắc Mersenne và số tuyệt đối hay là không. Việc mò mẫm rời khỏi những số yếu tắc Mersenne vừa mới được triển khai vày những siêu máy tính

Các số tuyệt đối đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số bất ngờ từ là một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt đối đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt đối đều phải sở hữu tổng những nghịch tặc hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) đích vày 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số bất ngờ độc nhất sở hữu tổng những ước vày tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số tuyệt đối đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ thường xuyên kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: diện tích toàn phần khối trụ

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số tuyệt đối khi phân tách 9 thì đều nhận được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt đối lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tớ vẫn chưa chắc chắn được liệu số tuyệt đối lẻ nào là ko tuy nhiên tiếp tục có rất nhiều thành phẩm phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid mang lại từng số trả hảo[3], tức là nhận định rằng không tồn tại số tuyệt đối lẻ nào là tồn bên trên cả. Euler thì trình bày rằng: "Liệu ... sở hữu số tuyệt đối lẻ nào là là thắc mắc cực kỳ khó khăn hoàn toàn có thể giải đáp".[4] Gần trên đây rộng lớn, Carl Pomerance đã mang rời khỏi thảo luận vày heuristic rằng quả tình ko số tuyệt đối lẻ nào là nên tồn bên trên [5] Tất cả những số tuyệt đối đều là số điều tiết của Ore và lúc này người tớ vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ nào là nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số tuyệt đối lẻ N nên thỏa mãn nhu cầu những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân tách không còn vày 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số yếu tắc Mersenne và số trả hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử hào hùng toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf[liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater than thở 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ đồng hồ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace P.. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace P.. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace P.. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project to lớn tìm kiếm for odd perfect numbers.