căn bậc 2 của 2

By Admin 12/03/2024 0

"Hằng số Pythagoras" gửi nhắm tới trên đây. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 bởi với chừng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhì cạnh lòng bởi 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá một nửa của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao mang lại Lúc nhân với chủ yếu nó, mang lại tớ số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc điểm tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là chừng nhiều năm đàng chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; khởi đầu từ quyết định lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với kiểu mẫu số nhỏ một vừa hai phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 vô OEIS bao gồm những chữ số vô màn biểu diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú giải. Ngoài việc đã cho chúng ta biết căn bậc nhì của 2 vô hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì đàng chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 hoàn toàn có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bởi 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 vô tư chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, trúng cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân rất tốt của √2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay vô văn khiếu nại toán học tập của bấm Độ cổ truyền, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng nhiều năm [của cạnh] bởi một trong những phần tía chủ yếu nó và một trong những phần tư của một trong những phần tía và sụt giảm một trong những phần tía mươi tư của một trong những phần tư bại.[2] Tức là,

Các môn vật của Pythagoras vạc hiện nay rằng đàng chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể so sánh được, hoặc theo đòi ngữ điệu tân tiến, căn bậc nhì của 2 là một trong những vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của mày mò này, tuy nhiên cái thương hiệu thông thường được nhắc tới là Hippasus của Metapontum. Các môn vật Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là 1 trong những kín, và theo đòi điều kể, Hippasus đã biết thành giết mổ vì như thế bật mí nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 đôi lúc còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như vô Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một trong những thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số vẹn toàn hoặc một trong những thập phân. Thuật toán phổ cập nhất mang lại việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong tương đối nhiều PC và PC đuc rút, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một trong những a0 > 0 bất kì. Sau bại, người sử dụng số một vừa hai phải đoán, tính từng số hạng theo đòi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành quy tắc tính bên trên (tức là đa dạng đợt tái diễn và số "n" càng lớn), mang lại tớ xấp xỉ càng chất lượng tốt của căn bậc nhì của 2. Mỗi đợt tính mang lại tớ khoảng chừng gấp rất nhiều lần số chữ số trúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi group của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang lại việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 vô năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với màn biểu diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng đắn rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy đa phần là nhằm đánh giá bởi thực nghiệm coi những số bại liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản và giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc mặc dù có kiểu mẫu số đơn thuần 70, chừng sai chênh chếch của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong những giản phân của màn biểu diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là sát rộng lớn cần với kiểu mẫu số ko nhỏ nhiều hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tư vô cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới đây trong những việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng bốn năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng ngắn ngủi về tính chất vô tỉ của √2 dùng quyết định lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một trong những vẹn toàn. gí dụng quyết định lý mang lại nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy đi ra √2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một trong những vẹn toàn, vì thế √2 là một trong những vô tỉ. Chứng minh này hoàn toàn có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ nào là ko cần số chủ yếu phương là một trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn mang lại minh chứng rằng căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh bởi lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi minh chứng phổ cập nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là minh chứng bởi phản bệnh, vô bại mệnh đề cần thiết minh chứng được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết minh chứng là trúng.

  1. Giả sử √2 là một trong những hữu tỉ, tức √2 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô bại a và b nhân tố bên nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do bại a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang lại a = 2k.
  4. Thay 2k mang lại a vô đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tớ được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái ngược với fake thiết rằng a và b là nhì số nhân tố bên nhau.

Vì tớ suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 cần là một trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu gợi ý bởi Aristotle, vô cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay vô cỗ Cửa hàng của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng minh chứng này sẽ không nằm trong bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể cho rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang lại tính vô tỉ của √2.

Một màn biểu diễn hình học tập của minh chứng bên trên được John Horton Conway cho rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và đợt xuất hiện nay mới đây nhất là vô một bài xích báo bởi Noson Yanofsky vô tập san American Scientist số mon 5-6 năm nhâm thìn.[14] Cho nhì hình vuông vắn với cạnh là số vẹn toàn a và b, vô bại một chiếc với diện tích S gấp rất nhiều lần dòng sản phẩm bại, bịa đặt nhì hình vuông vắn nhỏ vô hình vuông vắn rộng lớn như vô hình 1. Phần giao phó nhau ở thân thiết với diện tích S ((2b − a)2) cần bởi tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được phủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tớ nhận được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn thuở đầu và diện tích S điều này gấp rất nhiều lần dòng sản phẩm bại. Lặp lại quy trình này tớ hoàn toàn có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên do bọn chúng cần với cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc bởi 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang lại tính vô tỉ của √2.

Một minh chứng hình học tập dùng phản bệnh không giống xuất hiện nay năm 2000 vô luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong những minh chứng dùng cách thức lùi vô hạn, bên cạnh đó dùng quy tắc dựng hình bởi thước kẻ và compa đã và đang được biết kể từ thời Hy Lạp cổ truyền.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mũi n như vô Hình 2. Theo quyết định lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABC và ADE đều bằng nhau theo đòi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tớ cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do bại BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tớ với 1 tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mũi m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy vậy với nằm trong tỉ lệ thành phần, trái ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do bại, m và n ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía cút không giống mang tính chất thi công là thiết lập một vách bên dưới mang lại hiệu của √2 và một trong những hữu tỉ bất kì. Với nhì số vẹn toàn dương a và b, số nón trúng của 2 (tức số nón của 2 vô khai triển đi ra quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; vì thế | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: muốn tính chu vi hình chữ nhật

bất đẳng thức cuối trúng bởi tớ fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên minh bạch to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này mang lại tớ ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ bại dẫn theo minh chứng tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản bệnh. Chứng minh này cho là tồn bên trên một khoảng cách thân thiết √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, bên cạnh đó cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của √2, xấp xỉ bởi 0.707106781186548, là 1 trong những độ quý hiếm thông thường gặp gỡ vô hình học tập và lượng giác vì như thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội thay đổi về phương trình bậc nhì, tớ hoàn toàn có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 hoàn toàn có thể được màn biểu diễn theo đòi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những quy tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm hợp lý và phải chăng mang lại số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn đợt bởi với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố nghiêm ngặt như sau: nếu như với số thực c > 1 tớ khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay rằng cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay vô công thức Viète mang lại π:

với m vết căn và trúng một vết trừ.[17]

Ngoài đi ra, √2 còn xuất hiện nay trong tương đối nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc điểm mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách đo đếm màn biểu diễn của chính nó vô hệ nhị phân đã cho chúng ta biết với năng lực nó chuẩn chỉnh vô hệ cơ số nhì.[19]

Biểu biểu diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những màn biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin mang lại ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tớ hoàn toàn có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang lại cos π/4 mang lại ta

Chuỗi Taylor mang lại √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang lại ta

Sử dụng thay đổi Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của mặt hàng, tớ được

Một công thức dạng BBP mang lại √2 vẫn không được dò thám đi ra, song tiếp tục với những công thức dạng BBP mang lại π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 hoàn toàn có thể màn biểu diễn bởi phân số Ai Cập, với kiểu mẫu số bởi những số hạng loại 2n của một mặt hàng hồi quy tuyến tính tương đương mặt hàng Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 bởi mặt hàng giản phân.

Căn bậc nhì của 2 với màn biểu diễn bởi liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng chừng sát bởi 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là 1 trong những hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: công thức tính thể tích hình chóp

(dãy số A010503 vô bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] vạc hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy tờ nào là với cạnh nhiều năm dài vội vàng √2 đợt cạnh ngắn ngủi hoàn toàn có thể được gấp rất nhiều lần sẽ tạo trở nên một tờ giấy tờ mới nhất với tỉ lệ thành phần y sì tờ thuở đầu. Tỉ lệ giấy tờ này đảm bảo rằng hạn chế giấy tờ trở nên nhì nửa tạo ra những tờ giấy tờ nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa mẫu giấy vô vào đầu thế kỷ trăng tròn, bọn họ người sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg sẽ tạo trở nên giấy tờ cực "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần khuông hình (xấp xỉ) của mẫu giấy theo đòi chi phí chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh ngắn ngủi và cạnh nhiều năm của tờ giấy tờ, với

theo đòi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy tờ thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình vô mối quan hệ trong số những f-stop của thấu kính máy hình họa, dẫn theo tỉ lệ thành phần diện tích thân thiết nhì khẩu chừng tiếp tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète mang lại pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc cho dù thời buổi này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá phổ cập, không tồn tại dẫn chứng thẳng nào là đã cho chúng ta biết cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson lời khuyên một trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc viết lách về chứng bệnh mihn bởi phản bệnh, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể so sánh được với cạnh của chính nó, chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng so sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ đồng hồ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng bởi E. F. August bên trên Berlin vô 1826–1829 trả minh chứng này vô phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm nhâm thìn.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú giải 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach lớn Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng bốn năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu vớt mặt hàng số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, vô Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, P.. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số bởi Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn luyện những bệnh minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.