hệ thức lượng tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng tam giác

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vị tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ cút nhì chuyến tích của nhì cạnh bại nhân với \(cosin\) của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái khoáy của ấn định lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) với những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng nhiều năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh bại vị 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

với \(R\) là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem theo đuổi một trong số công thức sau

Xem thêm: gia sư tri thức

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp, bk đàng tròn xoe nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác bại.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nguyên tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Lúc đang được biết một trong những nguyên tố của tam giác bại.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết lần côn trùng contact trong số những góc, cạnh đang được cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô ấn định lí cosin, ấn định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: Có 3 câu hỏi cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng ấn định lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng ấn định lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau bại người sử dụng hệ trái khoáy của ấn định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với câu hỏi này tớ dùng hệ trái khoáy của ấn định lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

1. Cần chú ý là 1 tam giác giải được Lúc tớ biết 3 nguyên tố của chính nó, vô bại cần với tối thiểu một nguyên tố phỏng nhiều năm (tức là nguyên tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những câu hỏi thực tiễn, nhất là những câu hỏi đo lường.

Xem thêm: hình hổ cute