cấp số nhân

1. Cấp số nhân là gì?

Bạn đang xem: cấp số nhân

Cấp số nhân là 1 sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một vài ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n\epsilon N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=3^{n}$ là 1 cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ có 

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp số nhân

• $(u_{n})$ là 1 cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

• Nếu một cấp số nhân $(u_{n})$ sở hữu số hạng đầu $(u_{1})$ và công bội q thì số hạng tổng quát lác $(u_{n})$ sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy lần u₄

Lời giải: 

Ta có: u₂² = u₁ . u₃ = 3

          u₃² = u₂ . u₄

Từ (1) tự u₂  > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

• Khi q = 0 thì sản phẩm sở hữu dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁ 

• Khi q = 1 thì sản phẩm sở hữu dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.

• Khi u₁ = 0 thì với từng q, cấp số nhân sở hữu dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký tức thì nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng về cấp số nhân

4. Tổng thích hợp những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

• Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall  n \geq 1$

• Kết luận: 

• Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm u_n là cấp số nhân

• Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm u_n ko là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân sở hữu số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải: 

Ta sở hữu 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n sở hữu số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

1. Tìm số hạng loại nhất

2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

1. Đặt r là công bội của cấp số nhân.

 Ta có: r^(5-2) = r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ cơ r = 5. 

$\Rightarrow$ u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

2. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho tới cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$. Dãy số U_n bên trên là cấp số nhân trúng hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$ 

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, chuyển đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân U_n sở hữu U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân U_n sở hữu U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề cho tới thân phụ số x,y,z lập trở thành một cấp số nhân và thân phụ số x, 2y, 3z lập trở thành một cung cấp số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở thành một cung cấp số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp:

Để lần số hạng của cấp số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát lác U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁ và q  của cấp số nhân biết: 

Lời giải: 

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp số nhân (u_n) với u₃ = 8 , u₅ = 32. Số hạng loại 10 của cấp số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), tớ sở hữu $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tớ sở hữu u₁₀ = u₃ . q^₇ = 8 . 2^₇ = 1024

Với q = -2, tớ sở hữu u₁₀ = u₃ . q⁷= 8 . (-2)⁷ = -1024

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁ = 3, công bội là 2. Hãy lần số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ sở hữu : u_n = u₁ . q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅ = u₁ . q⁴ =3 . 2⁴ = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng trước tiên vô dãy

Ta dùng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

$S = 2 + 6 + 18 + 13122$

Lời giải:

(u_n) sở hữu u₁=2 và q = 3. 

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp số nhân (u_n) với

1. 5 số hạng đầu của cấp số nhân bên trên là gì? 

2. 10 số hạng đầu của cấp số nhân (u_n) bên trên sở hữu tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

1. Dãy số là cấp số nhân là trúng hoặc sai?

2. Tính S = u₂ + u₄ + u₆... + u₂₀

Lời giải: 

1. Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$ 

   Xem thêm: karaoke trịnh công sơn

2. Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u₂ = 9, q = 3 

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác tấp tểnh những bộ phận cấu trúc nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy đi ra được công thức cho tới số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, lần u₁ khi:

Lời giải: 

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp số nhân: 

1. 1;0,2;0,04;0,008;...

2. 1,22,222,2222,...

3. X,2x,3x,4x,...

4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u₁ = 1, u₂ = u₁ . 0,2, u₃ = u₁ . (0,2)², u₄ = u₁ . (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ minh chứng được u_n = (0,2)ⁿ

Khi cơ $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy sản phẩm số là cấp số nhân sở hữu công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp số nhân (u_n) cần thiết lần sở hữu công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅)

= q . S₅

Mà S₅ = 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u1=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp số nhân (u_n) sở hữu công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n = u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ - 1)(q - 1)

 Trong cơ s_n là tổng n số hạng trước tiên của cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài bác cho tới cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ sở hữu tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên 

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu thao diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng thân phụ số hạng trước tiên của sản phẩm số là $\frac{39}{25}$. Xác tấp tểnh (u₁), q của cung cấp số đó?

Lời giải: 

6. Một số bài bác luyện cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp số nhân un sở hữu công bội q

1. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

2. Biết q= $\frac{2}{3}$, u₄ = $\frac{8}{21}$. Tính u₁

3. Biết u₁ = 3, q = -2. Xác tấp tểnh số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cấp số nhân?

Lời giải: 

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp số nhân (u_n) biết cấp số nhân bao gồm sở hữu 5 số hạng và:

1. TH1: u₃ = 3 , u₅ = 27

2. TH2: u₄ – u₂ = 25 ,  u₃ – u₁ = 50

Lời giải: 

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một trong,4%. hiểu rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là một trong,8 triệu con người, căn vặn với nút tăng lộc vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là một trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở thành một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác cho tới u_n sở hữu những số hạng 0, tìm  u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$. Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải: 

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn thi đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Xem thêm: ảnh mang

• Tổng thích hợp những công thức cung cấp số nằm trong và cấp số nhân & bài bác tập
• Cấp số nằm trong là gì? Công thức cung cấp số nằm trong và bài bác tập
• Xác suất của đổi mới cố
• Giới hạn của sản phẩm số