Nguyên hàm là một trong những trong mỗi mục chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện tại nhiều trong những kì đua ĐH. Vậy với những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và mò mẫm nắm rõ rộng lớn về bảng công thức nguyên vẹn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm thông dụng qua loa nội dung bài viết tiếp sau đây.
Bạn đang xem: bảng nguyên hàm cơ bản
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Nguyên hàm là gì?
Trước Khi, lên đường sâu sắc nhập mò mẫm hiểu công thức về nguyên vẹn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa nguyên vẹn hàm cũng như các đặc điểm và lăm le lý tương quan.
Định nghĩa nguyên vẹn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện tại hàm số F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý nguyên vẹn hàm
3 lăm le lý của nguyên vẹn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là một trong những nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên vẹn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là một trong những nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) thì từng nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, với C là một trong những hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải sở hữu nguyên vẹn hàm.
Tính hóa học nguyên vẹn hàm
3 đặc điểm cơ bạn dạng của nguyên vẹn hàm được thể hiện tại như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số với nguyên vẹn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) với đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên vẹn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên vẹn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng nguyên vẹn hàm đều phải sở hữu những công thức riêng biệt. Những công thức này đang được tổ hợp trở nên những bảng tiếp sau đây nhằm những em đơn giản phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng đắn.
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản
Bảng công thức nguyên vẹn hàm phanh rộng
Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao
Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi đổi mới số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều Khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những Việc nguyên vẹn hàm thời gian nhanh và đúng đắn rộng lớn.
Phương pháp thay đổi đổi mới loại 1:
Cho hàm số u = u(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K, nó = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhì vế: dt = φ'(t)dt.
Sau cơ, thay đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi đổi mới loại 2: Khi đề bài bác mang đến hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là một trong những hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và với đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhì vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện tại đổi mới đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhì hàm số u(x) và v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết thay đổi tích phân trước tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo gót, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng tuy nhiên những em vận dụng cách thức sao mang đến thích hợp.
Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập luyện về công thức nguyên vẹn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm nguyên vẹn hàm của hàm số mang đến trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần là gì? Đưa rời khỏi ví dụ minh họa mang đến phương pháp tính tiếp tục nêu.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số nó = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số nó = f(x) bên trên D Khi Y = F(x) thỏa mãn nhu cầu ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên D, Khi cơ tao với công thức:
Xem thêm: phong cảnh anime
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=e^xdx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=e^x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C \end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi cơ, tích phân cần thiết mò mẫm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số tiếp tục mang đến bên dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}
d. Với bài bác tập luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên vẹn hàm mang đến từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội đặt điều ẩn phụ nhằm giải mò mẫm nguyên vẹn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một vài nguyên vẹn hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số nguyên vẹn a và b thỏa mãn
\begin{aligned} & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb \end{aligned}
Hãy tính tổng Phường = a + b
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=lnx \\ dv=(2x+1)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=\frac1xdx \\ v=x^2 +x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } \\ & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx \\ & \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx \\ & \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx \\ & \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1 \\ & \small = 6ln2 - (4 - \frac32) \\ & \small = -4 + \frac32 + ln64 \\ & \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. Phường = a + b = 60.} \end{aligned}
Đề đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài bác tập:
Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối kết hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned} & \small \text{Đặt n = x + 1, Khi đó: } \\ & \small K = \intop_0^3 xf(x)dx \\ & \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1) \\ & \small = \intop_3^0 F(n)dn \\ & \small =1 \\ & \small \text{Kế tiếp, tao đặt điều } \begin{cases} u=x \\ dv=f(x)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=F(x) \end{cases} \\ & \small \text{Lúc đó: } \\ & \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 \end{aligned}
Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về nguyên vẹn hàm, bàng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức nguyên vẹn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và canh ty áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác tập luyện một cơ hội nhanh gọn.
Hãy tương tác tức thì với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: cao h2o
.jpg?w=1200&h=630&c=true)
Bình luận